Ez talán a szerző manapság legismertebb könyve. Ugyanis máig minden logikai tankönyv ezen alapszik. A könyv témája a logikai bizonyítás, márpedig ezt Arisztotelész találta fel.

Szóval itt inkább igyekszem leírni röviden azt, ami fontos, s nem pontosan követni a szerző gondolatmenetét, Inkább igyekeztem magam is végiggondolni ugyanezt, nyilván közben nem találtam fel semmit (már megtette ezt a szerző), de mégis így saját magam jutottam el ugyanoda, persze ez nem volt túl nehéz már ismerve a szerző gondolatmenetét.

Ha valaki részletesen, alapos példákkal szeretné megérteni a témát, annak javaslok bármilyen jó logikai tankönyvet, az én kedvencem magyar nyelven ez a több mint 20 évvel ezelőtti, de nagyon jó mű:

Az arisztotelészi szöveg bonyolult nyelvezetű, így a későbbi (középkori) latin rövidítéseket fogom használni én is. A latin affirmo (állít) és nego (tagad) szavak alapján a 4 rövidítés:

• a - affirmo- általános állítás,
• e - nego - általános tagadás,
• i - affirmo - részleges állítás,
• o - nego - részleges tagadás,

tehát, tegyük fel, hogy A = ember és B = fehér, akkor

• AaB - "minden ember fehér”,
• AeB - "egyetlen ember se fehér”,
• AiB - "egyes emberek fehérek”,
• AoB - "egyes emberek nem fehérek”.

Míg a másik mű az elméleti alapvekről szó, ez a konkrét bizonyítási módszerekről.

A tudományos bizonyítás alapelemei:

• kiinduló tétel, feltételezés (premissza) (görög: prótaszisz), mely valamiről állít vagy cáfol valamit, lehet:
  • általános: mindenre vonatkozó vagy semmire se vonatkozó,
  • egyedi: egyesekre vonatkozó vagy egyesekre nem vonatkozó,
  • határozatlan: az előbbi kettő között lévő, nem tudható általánis vagy egyedi,
• tétel (görög: khórosz), a kiinduló tétel elemei, azaz az alany, az álítmény, s az őket összekötő létige (magyarul persze nincs létige),
• bizonyítás (szillogizmus) (görög: szüllogizmósz), maga a bizonyítás, mely 2 kiinduló tételt tartalmaz, s a belőlük kiinduló követkettzést.

A kiinduló tétel lehet szillogisztikus, amikor valós dologról mond valamit, az adott tudomány alapelveiből kiindulva, s dialektikus, amikor általában mond valamint. De mindez mindegy a bizonyítási eljárás szempontjából,

A következőkben Arisztotelész megismétli azt, ami egy másik művében már szerepel: az ellentétek típusai és azok felcserélhetősége. Ezeket itt csak részben fogom leírni, a részleteket lásd itt. http://bircahang.org/az-ertelmezesrol/

A szillogizmus kezdete egy általános megállapítás, pl. „minden öröm jó” vagy „egyetlen öröm se jó”.
Ezeket meg is lehet fordítani: „néhány jó öröm” és „egyetlen jó se öröm. Mint látható:

• általános tagadás esetében a megfordítás általános,
• míg általános állítás esetében csak részleges.

Ugyanígy:

• részleges állítás esetében a megfordítás részleges, míg
• részleges tagadás esetében nincs megfordíthatóság.

Ez nyilvánvaló: ha egyetlen öröm se jó, akkor egyetlen jó se öröm, de ha minden öröm jó, abból csak az következik, hogy néhány jó öröm, de az nem, hogy minden jó öröm (hiszen olyan jó is lehet, ami nem öröm). Továbbá: ha néhány öröm jó, abból csak az következik, hogy néhány jó öröm, ha pedig néhány öröm nem jó, abból nem következik, hogy néhány jó nem öröm.
A szillogizmus folytatása valamilyen egyedi megállapítás, mely az előbbi megállapítás folytatása értelmileg, pl. „egy bizonyos dolog öröm” vagy „egy bizonyos dolog nem öröm”.

Arisztotelész jellemzően a következőkben az első tétel (a nagyobbik tétel) alanyát B-nek, állítmányát A-nak nevezi, de ennek nincs jelentősége, hogy melyiket hogyan jelöljük.

Tehát:

• AaB: általános állítás, azaz minden A-ra igaz, hogy B, következésképpen néhány B-re is igaz, hogy A, azaz AaB → BiA.
• AeB: általános tagadás, azaz egyetlen A-ra se igaz, hogy B, következésképpen egyetlen B-re se igaz, hogy A, azaz AeB → BeA.
• AiB: részleges állítás, azaz néhány A-ra igaz, hogy B, következésképpen néhány B-re is igaz, hogy A, azaz AiB → BiA.
• AoB: részleges tagadás, azaz néhány A-ra igaz, hogy nem B, azaz AoB.

Természetesen minden a → i is és minden e → o is. Ez nyilvánvaló, hiszen ha pl. ha minden ember élőlény, akkor az is igaz, hogy néhány ember is élőlény, s ha meg mondjuk egyetlen kutya se kétlábú, akkor az is igaz, hogy néhány kutya se kétlábú.

Fontos szabály még a lehetetlenségre való visszavezetés: ha egy szillogizmus következtetésnek ellentétje valamelyik premisszával együtt cáfolja a másik premisszát, akkor az eredeti következtetés igaz. Például ha: CaA és BaC = AaB, akkor szükségszerű, hogy CaA és AoB ellentmondjon BaC-nek.

Három típusú szillogizmus van:

• első típus: a nagyobb kiinduló tétel állítmánya azonos a kisebbik kiinduló tétel alanyával, pl. BxC és AxB , a következtetés pedig AxC (az x azt jelenti valamilyen állítás, azaz a, e. i, o),
• második típus: a kiinduló tételek alanya azonos, pl. BxA és BxC, a következtetés pedig AxC,
• harmadik típus: a kiinduló tételek állítmánya azonos, pl. AxB és CxB, a következtetés pedig AxC.

A továbbiakban a későbbi megszokott jelölést fogom alkalmazni, mert jobban átlátható, azaz a következtetés alanya S, a következtetés állítmnya P, a közbülső tétel pedig M.

Az első típusú szillogizmus

Elvileg 64 darab lehetséges szillogizmus van (4³), sőt megfordtíva a felső és az alsó premisszát, 128 (de a megfordítás nem változtat semmin). Ezek zöme persze érvénytelen.

Az alapvető 2 általános verzió (mindkét premissza általános):

• „Barbara” - később a latin fordításban minden érvényes szillogizmus nevet kapott -: ha minden M-re igaz, hogy P, s minden S-re is, hogy M, akkor szükségszerűen minden S egyben P is,
• „Celarent”: ha minden M-re igaz, hogy nem P, s minden S-re igaz, hogy M, akkor szükségszerűen egyetlen S sem P.

Lehetséges lenne még egy általános szillogizmus – MeP SeM -, de ez improduktív, hiszen nem vonható le belőle érvényes következtetés.

Az alapvető 2 általános-részleges verzió:

• „Darii”: ha minden M-re igaz, hogy P, s néhány S-re is, hogy M, akkor szükségszerűen néhány S egyben P is,
• „Ferio”: ha minden M-re igaz, hogy nem P, s néhány S-re, hogy M, akkor szükségszerűen néhány S nem P.

Ha viszont a felső premissza részleges, míg az alsó általános, nincs érvényes szillogizmus.

Az alsó premissza mindeképpen állítás lehet csak.

Úgyszintén nincs érvényes szillogizmus, ha mindkét premissza részleges.

A táblázat nem az összes 64 esetet tartalmazza, hanem csak a felső és az alsó premisszák összes esetét, ezek száma 16, nem láttam értelmét a nyilvánvalóan nem igaz következtetések felsorolásának:

sötétzöld: érvényes arisztotelészi szillogizmus, világoszöld: érvényes, de a fent leírtak szerint nyilvánvalóan következik az előzőből, szürke: érvénytelen szillogizmus

Példák:

„Barbara” - S: höszki, P: kutya, M: szánhúzó:

• MaP - minden szánhúzó kutya
• SaM - minden höszki szánhúzó
• SaP - minden höszki kutya

„Celarent” - S: höszki, P: hal, M: négylábú:

• MeP - egyetlen négylábú se hal
• SaM - minden höszki négylábú
• SeP - egyetlen höszki se hal

„Darii” - S: kutya, P: szánhúzó, M: höszki:

• MaP - minden höszki szánhúzó
• SiM - néhány kutya höszki
• SiP - néhány kutya szánhúzó

„Ferio” - S: kutya, P: vadászkutya, M: szánhúzó:

• MeP - egyetlen szánhúzó se vadászkutya
• SiM - néhány kutya szánhúzó
• SoP - néhány kutya nem vadászkutya

A második típusú szillogizmus

Elvileg 64 darab lehetséges szillogizmus van (4³) itt is.

A felső premissza itt  is csak általános lehet, s az alsó úgyszintén lehet általános és részleges is.

Az alsó premissza itt viszont lehet állítás és tagadás is.

Példák:

„Camestres” - S: höszki, P: macska, M: dorombol:

• PaM - minden macska dorombol
• SeM - egyetlen höszki se dorombol
• SeP - egyetlen höszki se macska

„Baroco” - S: kutya, P: höszki, M: szánhúzó:

• PaM - minden höszki szánhúzó
• SoM - néhány kutya nem szánhúzó
• SoP - néhány kutya nem höszki

„Cesare” - S: höszki, P: vadászkutya, M: szánhúzó:

• PeM - egyetlen vadászkutya se szánhúzó
• SaM - minden höszki szánhúzó
• SeP - egyetlen höszki se vadászkutya

„Festino” - S: kutya, P: vadászkutya, M: szánhúzó:

• PeM - egyetlen vadászkutya se szánhúzó
• SiM - néhány kutya szánhúzó
• SoP - néhány kutya nem vadászkutya

A harmadik típusú szillogizmus

Elvileg 64 darab lehetséges szillogizmus van (4³) itt is.

A felső premissza itt lehet bármi, míg az alsó csak állító lehet.

Példák:

„Darapti” - S: kutya, P: szánhúzó, M: höszki:

• MaP - minden höszki szánhúzó
• MaS - minden höszki kutya
• SiP - néhány kutya szánhúzó

„Datisi” - ugyanaz lényegileg, mint "Darapti", hiszen mindegy, hogy minden vagy néhány, ha minden höszki kutya, akkor néhány is az, lásd azt a - i és e - o szabályt

„Felapton” - S: kutya, P: höszki, M: vadászkutya:

• MeP - egyetlen vadászkutya se höszki
• MaS - minden vadászkutya kutya
• SoP - néhány kutya nem höszki

„Ferison” - ismét nyilvánvalóan következik a "Felapton" szillogizmusból

„Disamis” - S: kutya, P: höszki, M: szánhúzó:

• MiP - néhány szánhúzó höszki
• MaS - minden szánhúzó kutya
• SiP - néhány kutya höszki

„Bocardo” - S: kutya, P: höszki, M: szánhúzó:

• MoP - néhány szánhúzó nem höszki
• MaS - minden szánhúzó kutya
• SoP - néhány kutya nem höszki

A három különböző típusú szillogizmusban az érvényes szillogizmusok száma 18, ebből 4 származékos. Valójában tehát 14-ről kell beszélni. De ez a 14 szillogizmus is visszavezethető egymásra. 2-ről már láttuk ezt, marad 12.

Lássuk azonban további levezetéseket.

„Camestres” - „Celarent”-ből:

• az alsó premissza megfordítható, hiszen "e", azaz: SeM = MeS, ha egyetlen höszki se dorombol, akkor egyetlen doromboló állat se höszki,
• megfordítjuk a premisszák sorrendjét (mint már említettük, nincs jelentősége Arisztotelésznél a sorrendnek), azaz PaM MeS = MeS PaM = MeP SaM, ha egyetlen doromboló állat se höszki és minden macska dorombol, akkor egyetlen höszki se macska.

„Baroco” - „Barbara”-ból:

• ez bonyolultabb, a lehetlenségre kell visszavezetni: ez azt jelenti a gyakorlatban, hogy ha egy konklúzió ellentéte bármelyik premisszával együtt ellentétet mutat a másik premisszával, akkor az eredeti konklúzió igaz,
• a konlúzió az eredeti ellentéte, azaz nem SoP, hanem SaP (lásd feljebb, az "a" ellentéte nem az "e", hanem az "o"), azaz minden kutya höszki, ez együtt a felső premisszával azonban oda vezet (ez a "Barbara" szillogizmus), hogy egyszer minden höszki szánhúzó és minden kutya höszki, azaz minden kutya szánhúzó, ami viszont ellentmond a másik premisszának, hogy néhány kutya nem szánhúzó,
• azaz a konlúzió hibás, tehát az eredeti igaz.

„Cesare” - „Celarent” felső premisszájának a megfordítása, hiszen a megfordítási szabályok értelmében a negatív kijelentés megfordítható: ha egyetlen höszki se hal, akkor
egyetlen hal se höszki

„Festino” - „Ferio” felső premisszájának a megfordítása, hiszen a megfordítási szabályok értelmében a negatív kijelentés megfordítható: ha vadászkutya se szánhúzó, akkor egyetlen szánhúzó se vadászkutya

„Darapti” - a "Darii" alsó premisszájának a szimpla megfordítása, a megfordítási szabályok értelmében: ha AaB, akkor BiA, hiszen ha minden höszki kutya, akkor szükségszerű, hogy néhány kutya is höszki

„Felapton” - „Ferio” alsó premisszájának megfordítása, hiszen ha AaB, akkor BiAS: ha néhány kutya höszki, akkor szükségszerűen minden höszki kutya

„Disamis” - „Darii”-ból:

• felső premissza megfordítása, MiP = PiM néhány szánhúzó höszki, akkor néhány höszki szánhúzó,
• megfordítjuk a premisszák sorrendjét, PiM MaS = MaS PiM = MaP SiM.

„Bocardo” - „Barbara”-ból:

• mint "Baroco" esetében, itt is lehetlenségre kell visszavezetés alkalmazandó,
• a ellentétes konlúzió SaP, ez együtt az alsó premisszával azt jelentené, hogy minden kutya höszki és minden szánhúzó kutya ("Barbara"), ami viszont ellentmond a felső premisszának, mely szerint néhány szánhúzó nem kutya,
• azaz a konlúzió hibás, tehát az eredeti igaz.

Látható tehát, hogy az összes második és harmadik típusú szillogizmus visszavezethetó első típusú szillogizmusra.

Arisztotelész után megalkották a negyedik típusú szillogizmusokat, ezek azonban csupán az első típus megfordításai: azaz MxP és SxM helyett PxM MxS van. Ezeket (6 érvényes szillogizmus) nem írom le, mindegyikük visszavezethető az első típusra.

Általános következtetések:

• nincs érvényes konklúzió két cáfoló premisszából,
• nincs érvényes konklúzió két részleges premisszából,
• érvényes általános konklúzióhoz két általános premissza kell,
• érvényes állító konklúzió csak két állító premisszából lehetséges,
• érvényes cáfoló konklúzió csak akkor van, ha az egyik premissza cáfoló.

Bár nem tartozik ide a szó szoros értelmében, fontos itt megjegyezni szerintem az érvelési hibákat.

Van erről írt cikkem, de itt kifejezetten a hibás szillogizmusból eredő érvelési hibákat említeném meg. Valószínűleg van több is, de a 8 legfontosabb:

1. Két cáfolatból következtetés levonása, további állító következtetés levonása cáfoló premisszából. Láthattuk feljebb, ez nem lehetséges egyik típusban sem. Mégis ez gyakori érvelési hiba, képlete jellemzően: MeP SoM = SiP. Példa:

• egyetlen liberális se gyűlöli a menekülteket
• egyes magyarok nem liberálisok
• tehát egyes magyarok gyűlölik a menekülteket

a valóságban abból, hogy mi nem igaz egy csoportra, semmi se következik arra vonatkozóan, hogy mi igaz a csoporton kívüliekre.

2. Az előbbi fordítottja, azaz cáfoló következtetés levonása két állító premisszából, képlete jellemzően: MaP SiM = SoP, miközben bár az MaP SiM érvényes szillogizmus, de a helyes következtetése SiP. Példa:

• minden liberális párt egyben demokratikus is
• egyes pártok liberálisak
• tehát egyes pártok nem demokratikusak

a valóságban a helyes következtetés: "tehát egyes pártok demokratikusak".

3. Az első típusú szillogizmusban az alsó premisszan csak állítás lehet, ezt sérti meg a MaP SeM = SeP érvelési hiba. Példa:

• minden liberális szabadságpárti
• egyetlen populista se liberális
• tehát egyetlen populista se szabadságpárti

a valóságban nincs következtetés, a két premisszából nem vonható le semmilyen érvényes konklúzió.

4. Megfordítási hiba: MaP MaS = SaP, a szillogizmus érvényes ugyan, de a helyes következtetés SiP. Példa:

• minden magyar beszél magyarul
• minden magyar magyarnak tartja magát
• tehát minden magyarul beszélő magyarnak tartja magát

a valóságban a helyes következtetés: "tehát egyes magyarul beszélők magyarnak tartják magukat", hiszen az "a" tipusú állítás csak részlegesen fordítható át, azaz megfordítva "i"
lesz belőle.

5. Mint az 1. típus, de a következtetés cáfoló, márpedig két cáfoló premisszából cáfoló következtetés se vonható le, képlete MeP SeM = SeP. Példa:

• egyetlen kisiskolás se szereti a sárgaborsófőzeléket
• egyetlen gimnazista se kisiskolás
• tehát egyetlen gimnazista se szereti a sárgaborsófőzeléket

a valóságban nincs következtetés, a két cáfoló premisszából nem vonható le semmilyen érvényes konklúzió.

6. A 4. típus megfordítása, azaz PaM SaM = SaP, ami téves kettes típusú szillogizmus, a közbülső tétel nem lehet állítmány ebben a típusban, ha mindkét premissza állítás. Példa:

• minden magyar szereti a marhahúst
• minden európai szereti a marhahúst
• tehát minden európai magyar

a valóságban nincs következtetés, két csoport közös tulajdonságából nem következik szükségszerűen a két csoport azonossága.

7. A 6. típus részleges verziüója, azaz PaM SiM = SiP, a hiba ugyanaz. Példa:

• minden magyar szereti a marhahúst
• egyes európaiak szeretik a marhahúst
• tehát egyes európaiak magyarok

a valóságban itt sincs következtetés, két csoport közös tulajdonságának részleges meglétéből nem következik szükségszerűen a két csoport részleges azonossága.

8. Míg az előző 7 téves szillogizmus volt, ez eleve hamis szillogizmus, mert eleve nem az, ez valójában az argumentum ad ethymologiam érvelési hiba szillogizmusnak álcázott verziója. Példa:

• akinek van tolla, az madár
• a szomszédomnak van egy szép, drága tolla
• tehát a szomszédom madár

a valóságban természetesen nincs következtetés, hiszen szillogizmus sincs, a középső tétel valóján két egymástól független tétel, a "toll" szó két különböző, azonos alakú szó.

Modális érvelések:

• szükségszerűség.
• eshetőlegesség.

Szükségszerű az, ami nem lehet másképp. Eshetőleges az, ami lehet, hogy fennáll, s lehet, hogy nem áll fenn.

Első típusú szillogizmusok:

Minden általános szillogizmus egyben szükségszerűséget is jelöl. Csak hozzájuk kell tenni a „szükségszerű” szót. Ha a felső premissza szükségszerű, akkor a következtetés is az, mindegy, hogy az alsó premissza is az-e (az alsó lehet részleges is akár). Ha viszont csak az alsó premissza szükségszerű, akkor a következtetés nem lehet szükségszerű.

Második típusú szillogizmusok:

Ha a felső premissza szükségszerű, a következtetés is az lesz.

Harmadik típusú szillogizmusok:

Ha bármelyik premissza szükségszerű, a következtetés is az lesz.

Látható: szükségszerűség esetében ugyanazok a szabályok érvényesek, mint normál (nem-modális) szillogizmusok esetében. Más a helyzet az eshetőlegesség esetében azonban.

Természetesen mindaz ami szükségszerű, az egyben eshetőleges is. De ezen túlmenve az eshetőleges megállapítások szabályai:

AaB → AeB
AeB → AaB
AiB → AoB
AoB → AiB

Mind látjuk, ezek eltérnek a nem-modális szabályoktól.

Mindkét premissza lehet eshetőleges, a következtetés is az lesz. Érvényes a szillogizmus akkor is, ha a felső premissza eshetőleges, míg az alsó nem-modális.

Igazi premisszákból nem vonható le hamis következtetés, de hamis premisszákból bizonyos esetekben levonható igaz következtetés.

Első típusú szillogizmusok:

• Ha mindkét premissza teljesen vagy részlegesen hamis, lehetséges igaz következtetés.
• Ha csak az egyik premissza teljesen hamis, s ez a felső premissza, nem lehetséges igaz következtetés.
• Ha csak az egyik premissza teljesen hamis, s ez az alsó premissza, lehetséges igaz következtetés.
• Ha csak az egyik premissza részlegesen hamis, lehetséges igaz következtetés.
• Ha mindkét premissza hamis, az egyik teljesen, a másik részlegesen, lehetséges igaz következtetés.

Második típusú szillogizmusok:

• Minden esetben lehetséges hamisság esetében igaz következtetés.

Harmadik típusú szillogizmusok:

• Minden esetben lehetséges hamisság esetében igaz következtetés.

Hamis következtetés esetében valamelyik premissza – vagy mind a kettő – hamis.